Analysis III

Wintersemester 2020/21

Aktuelles ... Vorlesung ... Tutorium ... Skript ... Übungen ... Übungsblätter ... Zur Klausur ... Sprechstunden



Die Vorlesung wird gehalten von  Apl. Prof. Dr. Axel Grünrock.


Verantwortlich für die Übungen ist  MSc. Joseph Adams.

Aktuelles




Die Ergebnisse der 2. Klausur sind jetzt an das Studierendenportal übermittelt worden. Klausureinsucht nur auf individuelle und begründete Anfrage bei Herrn Adams.

Lösung und Wertung zur 2. Klausur



  • Vorlesungsbeginn: Dienstag, den 27. Oktober 2020 (Gruppe 1) bzw. Mi., den 28.10.2020 (Gruppe 2).

Vorlesung

  • Zeit und Ort: Dienstags, 12.30-14.30 Uhr und mittwochs, 14.30-16.30 Uhr, beides in Hörsaal 5 L


  • Inhalt:  Mehrdimensionale Integration. Mass- und Integrationstheorie. Das Lebesgue-Integral. Integration über Mannigfaltigkeiten. Integralsätze.

  • Leistungsnachweis: Bearbeitung wöchentlicher Übungsaufgaben und Bestehen einer Klausur.

  • Kreditpunkte: 8 CP (Bachelor-Studiengänge Physik, Mathematik 3), 9 CP (Bachelor-Studiengang Mathematik und Anwendungsgebiete und Wahlpflichtbereich im Bachelor-Studiengang Finanz- und Versicherungsmathematik).


Tutorium

Zu dieser Veranstaltung wird ein Tutorium angeboten. Es wird von Apl. Prof. Dr. Axel Grünrock gehalten. Dort werden Fragen zur Vorlesung beantwortet und Beispiele sowie Präsensaufgaben gerechnet. Es findet ab dem 27.10.2020 immer dienstags von 16:30-18:00 Uhr in Hörsaal 5L statt. Die Teilnahme ist freiwillig.

Bitte beachten Sie: Das Modul "Tutorium" im Bachelor-Studiengang Mathematik und Anwendungsgebiete mit insg. 6 Leistungspunkten ist vom Besuch dieser Veranstaltung unabhängig. Seit dem Sommersemester 2017 erhalten Studierende im o.g. Studiengang die o.g. Leistungspunkte im Modul Tutorium sobald sie eine der Prüfungen zur Analysis I, Analysis II oder Analysis III sowie eine der Prüfungen zur Linearen Algebra I oder Linearen Algebra II bestehen.


Materialien zum Tutorium:

Tutorium vom 27.10.

Tutorium vom 03.11.

Tutorium vom 10.11.

Tutorium vom 17.11.

Tutorium vom 24.11.

Tutorium vom 01.12.

Tutorium vom 09.12., Aufgaben

Tutorium vom 09.12., Lösungen

Tutorium vom 16.12. Topologie auf dem Abschluss von R

Tutorium vom 16.12., Limes Superior


Tutorium vom 06.01., Lebesguescher Konvergenzsatz


Tutorium vom 13.01., Zur Transformationsformel

Tutorium vom 20.01., Zur Transformationsformel (2)


Tutorium vom 27.01., Zur Faltung


Tutorium vom 03.02., Aufgaben

Tutorium vom 03.02., Loesungen


Tutorium vom 10.02., Rotationsymmetrische Funktionen und Layer-cake-Darstellung

Tutorium vom 10.02., Lösungen



Vorlesungsaufzeichnungen



1. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 08.12.20


2. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 08.12.20


3. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 15.12.20


4. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 15.12.20

(Bei 1:04:25 fehlt leider der Beweis der Sigma-Additivität des induzierten Masses. Da dies ein Routineschritt ist, bin ich optimistisch, dass Sie diese Lücke stetig ergänzen können. Andernfalls finden Sie den recht kurzen fehlenden Teil auf S. 86 des Manuskripts.)

5. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 22.12.20


6. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 22.12.20


7. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 12.01.21


8. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 12.01.21


9. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 19.01.21


10. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 19.01.21


11. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 26.01.21


12. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 26.01.21

Das Lemma 4 in Abschnitt 2.7 ist leider nicht mehr auf der Videoaufzeichnung. Sie finden es auf S. 152 des Manuskripts. Es ist hilfreich zur Beantwortung der Zusatzfrage zu Aufgabe 43.

13. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 02.02.21


14. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 02.02.21


15. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 09.02.21


16. Vorlesungsaufzeichnung Analysis III vom 09.02.21


Skript


Zu Wiederholungszwecken werden Sie hin und wieder auf die Manuskripte zur Analysis I und Analysis II zurückgreifen müssen. Diese finden Sie hier

Das Manuskript zur Vorlesung Analysis III wird im Laufe der Vorlesungszeit erstellt und erscheint dann an dieser Stelle. Das erste Kapitel steht bereits jetzt zu Ihrer Verfügung. Der historisch einführende Abschnitt 1.1 ist kein "Lernstoff", wird auch in der Vorlesung nicht noch einmal wiederholt. Er wurde verfasst mit der Absicht, die fehlende erste Semesterwoche zumindest teilweise auszugleichen und Ihnen den Einstieg in das Thema dieses Semesters, die mehrdimensionale Integration und allgemeiner die Mass- und Integrationstheorie, zu erleichtern. Es wird empfohlen, vor Beginn der Vorlesungszeit diesen Abschnitt zu lesen und ferner die Konstruktion des Riemann-Integrals im 6. Kapitel der Analysis I zu wiederholen.

Kapitel 1.  Einleitung: Das n-dimensionale Riemann-Integral
1.1.
Historisches zum Inhaltsproblem
1.2.
Das n-dimensionale Riemann-Integral (Skizze)
1.3.
Diskussion
1.4.
Literatur zu Kapitel 1
Kapitel 2.  Mass- und Integrationstheorie
2.1.
Mengensysteme.
2.2.
Mengenfunktionen.
2.3.
Fortsetzung von Inhalten und Prämassen.
2.3.1
Von einem Semiring auf den hiervon erzeugten Ring.
2.3.2.
Die Caratheodory-Erweiterung.
2.3.3.
Das Lebesgue-Mass. Vollständigkeit und Beziehung zur Borel-Sigma-Algebra
2.4.
Messbare Funktionen.
2.5.
Integration.
2.5.1
Definitionen und einfache Folgerungen.
2.5.2
Konvergenzsätze.
2.5.3
Das Lebesgue-Integral.
2.6.
Das Produktmass und der Satz von Fubini.
2.7.
Die L^p-Räume.
Kapitel 3.  Integration über k-dimensionale Flächen
3.1.
Untermannigfaltigkeiten und k-Flächen.
3.2.
Das k-dimensionale Flächenmass.
3.3.
Der Gauss'sche Integralsatz.
2.2.
Die Anordnungsaxiome und das Archimedes'sche Axiom.
2.3.
Exkurs: Folgen und Grenzwerte.
2.4.
Das Vollständigkeitsaxiom.
2.5.
Ergänzungen zur Vollständigkeit.
Kapitel 3.  Unendliche Reihen.
3.1.
Konvergenzkriterien für Reihen.
3.2.
Umordnung von Reihen und das Cauchy-Produkt.
3.3.
Potenzreihen.
3.4.
Exponentialreihe und trigonometrische Funktionen.
Kapitel 4.  Stetige Funktionen.
4.1.
Punktweise und gleichmässige Stetigkeit: Definitionen und Folgenkriterien.
4.2.
Sätze über stetige reellwertige Funktionen.
4.3.
Logarithmus und allgemeine Potenz. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
Kapitel 5.  Differenzierbarkeit.
5.1.
Die Ableitung. Ableitungsregeln.
5.2.
Mittelwertsatz und lokale Extrema.
5.3.
Taylorsche Formel und Taylorreihe.
Kapitel 6.  Integration.
6.1.
Das Riemann-Integral: Definition und einfache Eigenschaften.
6.2.
Integrierbarkeitskriterium und Anwendungen.
6.3.
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.
6.4.
Integrationsmethoden.
6.5.
Das uneigentliche Riemann-Integral.




Übungen

Es werden drei Termine für die Übungen angeboten:

Gruppe 1 Mo., 18.30-20.00 Hörsaal 5F MSc. Joseph Adams
Gruppe 2 Di., 14.30-16.00 Hörsaal 5L MSc. Joseph Adams
Gruppe 3 Do., 14.30-16.00 Hörsaal 5E Apl. Prof. Dr. Axel Grünrock


Übungsbeginn: 09./10./12.11.20


Übungsblätter


Die Übungsblätter werden ab dem 02.11. wöchentlich hier erscheinen. Ihre Lösungen senden Sie uns bitte in Form eines pdf-Dokumentes mit dem Dateinamen [Nachname]_[Blattnummer].pdf elektronisch zu. Diese können via ILIAS

hier (Abgabe)

bis zu dem auf dem Aufgabenblatt angegebenen Datum und Zeitpunkt (16.00 Uhr) eingereicht werden. Einzelabgabe ist erforderlich. Ihre Abgaben werden wie üblich korrigiert und bepunktet. Da Sie uns eine Kopie übermitteln, behalten wir uns vor, Ihnen lediglich eine kurze Nachricht mit begründeter Punktbewertung zuzusenden.

Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12




Zur Klausur:

  • Zu dieser Veranstaltung werden zwei Klausuren angeboten, eine 1. Klausur am 19.02.2021, 12.00 bis 14.00 Uhr in den Hörsälen 5A und 5C und eine 2. Klausur am 31.03.2021, 12.00 bis 14.00 Uhr in Hörsaal 5C.

  • Die Anmeldung hierzu im Studierendenportal ist unbedingt erforderlich. Gemäss Beschluss des Studiendekans ist es ab November 2015 für alle Studierenden (betrifft die gesamte HHU) definitiv verpflichtend, sich im Studierendenportal zu den Klausuren anzumelden. Alle anderen Anmeldeverfahren sind nicht mehr gestattet und es werden auch keine Ausnahmen zugelassen. Bitte beachten Sie die Anmeldefrist (eine Woche vor der Klausur).   Hier sind Informationen zur Online-Prüfungsanmeldung über das Portal.

  • Zulassung: Zur schriftlichen Prüfung ist zugelassen, wer
    - in diesem Semester 40% (das sind bei 12 Aufgabenblättern 76 P.) der Übungspunkte erzielt hat oder
    - wer bereits früher einmal erfolglos an einer Klausur zur Analysis III teilgenommen hat, jedoch noch nicht endgültig durchgefallen ist, oder
    - wer als Informatiker bzw. Physiker bereits früher eine Zulassung für die Klausur zur Analysis III erworben hat.

  • Erlaubte Hilfsmittel in den Klausuren: Beidseitig beschriebenes Notizblatt (Format DIN A4). Auf diesem Blatt muss Ihr Name stehen.

Sprechstunden

  • Dozent:
  • Apl. Prof. Dr. Axel Grünrock Mi. 16.30-17.30 Uhr in 2522.03.48

  • Übungsgruppenleiter:
  • MSc. Joseph Adams Mo. 17.00-18.00 Uhr in 2522.03.41

    Literatur

  • Forster, O.: Analysis 3, 6. oder spätere Auflage, Springer Spektrum
  • Kaballo, W.: Einführung in die Analysis III, Spektrum
  • Königsberger, K.: Analysis 2, Springer

  • Ergänzend zur Mass- und Integrationstheorie: Elstrodt, J.: Mass- und Integrationstheorie, Springer

  • Letzte Änderung: 07.04.2021