Partielle Differentialgleichungen I

In diesem ersten Teil des Zyklus Partielle Differentialgleichungen I, II geht es vorwiegend um die Behandlung der großen Klasse der Evolutionsgleichungen. Diese dienen zur Beschreibung von zeitabhängigen Prozessen in den Naturwissenschaften wie z.B. Physik, Chemie, Biologie, Medizin, Psychologie, Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften. Beispiele für Evolutionsgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung, die Navier-Stokes Gleichung, die Black Scholes Gleichung oder Populationsgleichungen. In der Vorlesung soll die Behandlung solcher Gleichungen durch die Einführung und Anwendung eines leistungsstarken Konzepts, der sogenannten Theorie der Operatorhalbgruppen vorgestellt werden. Hierzu wird die zugrundeliegende Evolutionsgleichung als gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeit t in einem Banachraum (z.B. L²(ℝⁿ)) aufgefasst. Durch Anwendung von halbgruppentheoretischen Resultaten erhält man somit z.B. für die Wärmeleitungsgleichung u'(t)=Δu(t), u(0)=u₀ die elegante Lösungsdarstellung u(t)=exp(tΔ)u₀ mit der sogenannten Wärmeleitungshalbgruppe (exp(tΔ))_t≤0. Beachte: Ersetzt man den Laplaceoperator Δ durch eine Matrix A ist diese Darstellung aus der Grundvorlesung über gewöhnliche Differentialgleichungen bekannt. Die Theorie der Operatorhalbgruppen beschäftigt sich also u.a. mit der Frage inwieweit sich diese Darstellung für Matrizen auf unbeschränkte Operatoren in Banachräumen (wie z.B. Δ in L²(ℝⁿ)) verallgemeinern lässt. Die Vorlesung richtet sich an Studierende im Masterstudium. Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sind sehr wünschenswert. Grundkenntnisse über partielle Differentialgleichungen sind ebenfalls hilfreich aber nicht unbedingt notwendig.