Nichtlineare Evolutionsgleichungen

Sommersemester 2017

Lehrstuhl für Partielle Differentialgleichungen
Aktuelles Inhalt Vorlesung Übung Prüfung Kontakt

Aktuelles

29.06.2017:
Die Termine für die Prüfungen stehen nun fest.
21.04.2017:
Die Übungsstunden finden ab Donnerstag 27.04.2017 in der Zeit von 16:15 Uhr - 17:45 Uhr statt.
01.04.2017:
Die erste Übung findet am 20.04.2017 statt.
01.04.2017:
Die Vorlesung beginnt am 20.04.2017.

Inhalt

Viele Prozesse aus der Strömungsmechanik und Biologie, wie zum Beispiel Strömungen von Flüssigkeiten in porösen Medien (Sandsteine) oder die Ausbreitung von Tumoren, werden mathematisch modelliert mit Hilfe von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen. Dabei spiegelt sich die Komplexität der Dynamik in der Natur der assoziierten Modelle. Nicht selten bestehen die Modelle aus voll-nichtlinearen (d.h. die Gleichungen sind nichtlinear bzgl. der höchsten Ableitung der Unbekannten) oder nichtlokalen partiellen Differentialgleichungen. In dieser Vorlesung werden Methoden vorgestellt, welche zum Teil auf der Theorie der analytischen Halbgruppen beruhen, um die Wohlgestelltheit, d.h. die Existenz und Eindeutigkeit von klassischen Lösungen sowie die stetige Abhängigkeit der Lösungen von Anfangsbedingungen, für abstrakte voll-nichtlineare und nichtlokale parabolische Evolutionsprobleme zu beweisen. Die Theorie wird dann an klassischen aber auch zeitnahen Modellen exemplifiziert.
Im ersten Teil der Vorlesung wird ein funktionalanalytischer Zugang zur Lösungstheorie von voll-nichtlinearen parabolischen Problemen vorgestellt. Dieser Zugang funktioniert natürlich auch für quasilineare parabolische Evolutionsprobleme. Die quasilinearen Probleme haben aber eine einfachere Struktur als die voll-nichtlinearen: die Gleichungen sind linear bzgl. der höchsten Ableitung der Unbekannten. Deshalb können die im ersten Teil der Vorlesung erzielten Resultate verbessert werden. Im zweiten Teil der Vorlesung wird dafür ein neuer Zugang zur Lösungstheorie von quasilinearen parabolischen Evolutionsproblemen vorgestellt.
Stichwörter zur Vorlesung: sektorielle Operatoren, stark stetige analytische Halbgruppen, voll-nichtlineare und quasilineare parabolische Evolutionsprobleme, die Lokalisierungs-Methode, parabolische Evolutionssysteme, lineare Volterra-Integralgleichungen, Anwendungen (der mittlere Krümmungsfluss, ein Modell für Detonationswellen, das Muskat-Problem).

Vorlesung

Die vierstündige Vorlesung bildet den Hauptteil der Veranstaltung.
Beginn:
Do., 20.04.2017
Zeit/Ort:
Do., 14:30-16:00 Uhr, Hörsaal 6B (Gebäude 26.11, 150 Plätze)
Fr., 12:30-14:00 Uhr, Seminarraum 25.22.02.81 (50 Plätze)
Literatur:
Lehrbücher:
  • H. Amann: Linear and Quasilinear Parabolic Problems. Vol. I, Birkhäuser, Boston, 1995.
  • H. Amann und J. Escher: Analysis III, Birkhäuser, Basel, 2001.
  • A. Lunardi: Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems, Birkhäuser, Basel, 1995.
  • A. Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, NY, 1992.
  • W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill, NY, 1991.

Übung

Zu dieser Veranstaltung werden Übungen angeboten. Die Übungsaufgaben dienen der Einübung des Lehrstoffes und der Vorbereitung auf die Prüfung und sind ein wichtiger Teil der Lehrveranstaltung. Für die Bearbeitung der Aufgaben ist die Kenntnis des in der Vorlesung behandelten Stoffes erforderlich.
Es gibt 13 Übungsblätter: 0 bis 12. Nur die Übungsblätter 1 bis 12 werden für die Prüfungszulassung berücksichtigt. Es gibt 4 Aufgaben pro Übungsblatt und jede Aufgabe wird mit 10 Punkten bewertet.
Die Übungsblätter werden immer Donnerstags (vor der Übung) auf der Internetseite der Vorlesung hochgeladen. Die Studierenden geben die gelösten Übungsblätter in der darauffolgenden Übungsstunde ab. Die korrigierten Übungsblätter werden zwei Wochen später in der Übungsstunde verteilt. Das Übungsblatt 1 wird am 20.04.2017 hochgeladen und muss von den Studierenden am 27.04.2017 abgegeben werden (das Übungsblatt 0 wird am 20.04.2017 hochgeladen und muss nicht abgegeben werden).
Beginn:
Do., 20.04.2017
Zeit/Ort:
Do., 16:30-18:00 Uhr, Seminarraum 25.22.02.81 (50 Plätze)
Übungsblätter:
Blatt 0 vom 20.04.2017
Blatt 1 vom 20.04.2017
Blatt 2 vom 27.04.2017
Blatt 3 vom 04.05.2017
Blatt 4 vom 11.05.2017
Blatt 5 vom 18.05.2017
Blatt 6 vom 01.06.2017
Blatt 7 vom 08.06.2017
Blatt 8 vom 22.06.2017
Blatt 9 vom 29.06.2017
Blatt 10 vom 06.07.2017
Blatt 11 vom 13.07.2017
Blatt 12 vom 20.07.2017

Prüfung

Die Prüfungsleistung für die Vorlesung Nichtlineare Evolutionsgleichungen besteht aus einer mündlichen Prüfung. Zugelassen sind diejenigen Studierenden, welche bei mindestens 8 Übungsblättern 50% der zu erreichenden Punkte erhalten haben. Die ersten mündlichen Prüfungen finden am Freitag, 04.08.17, am Freitag, 18.08.17, und am Dienstag, 12.09.2017, in 25.22.03.44 statt. Die zweiten mündlichen Prüfungen finden am Freitag, 29.09.17, ebenfalls in 25.22.03.44 statt. Bitte melden Sie sich bei Frau Sabine May (Raum 25.22.03.43) zu einem der Termine an.