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Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie


Die Algebra und Zahlentheorie sind klassische Gebiete der Mathematik, die im Laufe der Zeit eine Vielzahl von interessanten Spezialgebieten hervorgebracht haben. Dabei hat sich die Algebra vor allem im 20ten Jahrhundert zu einer grundlegenden Disziplin innerhalb der ganzen Mathematik entwickelt. So spielen zum Beispiel auch in der Geometrie oder Analysis algebraische Methoden eine wichtige Rolle.

Der Lehrstuhl Algebra und Zahlentheorie ist maßgeblich beteiligt am seit 2018 laufenden DFG-Graduiertenkolleg 2240 "Algebro-geometrischen Methoden in Algebra, Arithmetik und Topologie”. Zu unseren Forschungsrichtungen zählen insbesondere:

Die Gruppentheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, in der es darum geht, Symmetrien komplizierter mathematischer Objekte zu verstehen und mit anderen, etwa geometrischen, Eigenschaften dieser Objekte in Verbindung zu setzen. Das Ausgangsobjekt kann dabei beispielsweise auch eine schwierige zahlentheoretische Gleichung sein, die es zu lösen gilt. Die Symmetrien bilden dann jeweils eine algebraische Struktur, die man eine Gruppe nennt. Oft besitzen Gruppen selbst auf natürliche Weise zusätzliche geometrische oder zahlentheoretische Merkmale. Manchmal ergeben sich interessante Gruppen auch durch die asymptotische Betrachtung einer Folge von endlichen, stets größer werdenden Strukturen.  Link

Ein Resultat aus der Logik besagt, dass es in sehr vielen Situationen idealisierte Versionen der mathematischen Objekte gibt, für die man sich eigentlich interessiert. Interessiert man sich zum Beispiel für sehr kleine oder sehr große Zahlen, so kann man aufgrund dieses Resultats statt dessen mit unendlich kleinen oder unendlich großen Zahlen arbeiten, was oft zu Vereinfachungen führt. Diese Methode lässt sich auf beinah alle Objekte anwenden, die in der Algebra vorkommen. Modelltheorie besteht darin, systematisch zu untersuchen, was auf diese Art möglich ist und dies auszunutzen, um algebraische Probleme zu lösen.     Link

Algebra und Geometrie sind in der modernen mathematischen Forschung eng verzahnte Gebiete. Geometrische und topologische Fragestellungen lassen sich durch sogenannte Invarianten oftmals mit algebraischen Methoden beantworten. Besondere Aufmerksamkeit erhält in unserer Arbeit die Familie der L2-Invarianten. Sie spiegeln algebraische, maßtheoretische und asymptotische Eigenschaften verschiedener geometrischer Objekte wider. Ein weiterer Gegenstand unserer Forschung ist das Phänomen der proendlichen Starrheit von Gruppen. Gruppen beschreiben Symmetrien. Für unendliche Gruppen fragt man sich hier, ob endliche Approximationen dieser Symmetrien die Gestalt der Gruppe bereits festlegen.  Link

Verantwortlichkeit: